双代法（斜率双用法）

这篇文章介绍了一种被说烂的解对合方程的技巧。这种方法运算量较大，但是比较无脑（比联立韦达更无脑一些）同时又不会像齐次化（换元代替平移）一样有被扣分的嫌疑。所以仅推荐在估测定点（对合中心）不在轴上（定点在轴上请用轴点差）时使用。

这种方法适用于给出了两点连接在锥线上的一点，αk1k2+β(k1+k2)+λ=0\alpha k_{1}k_{2} +\beta(k_{1}+k_{2})+ \lambda=0，求直线过定点的题目。题目背景是对合方程，但这篇文章不涉及对合，只机械地求出答案。对所求定点的位置没有要求。

若被连接的点不在锥线上，则难以直接使用这种方法，但是这种情况一定可通过一些方法转化成锥线上两线的斜率对合方程。否则此题的背景可能不是过定点。

直线的两点式方程

设有两点

A=(x1,y1),B=(x2,y2)A=(x_{1},y_{1}),B=(x_{2},y_{2})

则可将两点确定的直线方程写作

y1−yx1−x=y2−yx2−x\frac{y_{1}-y}{x_{1}-x}=\frac{y_{2}-y}{x_{2}-x}

化简有

x1y2−x2y1=(y2−y1)x+(x1−x2)yx_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}=(y_{2}-y_{1})x+(x_{1}-x_{2})y

这个式子可以通过左边的形式记忆右边到底是谁减谁。

x1y2−x2y1  ⟹  x1−x2x1y2−x2y1  ⟹  y2−y1\begin{align} {\color{blue}x_{1}}y_{2}-{\color{blue}x_{2}}y_{1} \implies x_{1}-x_{2} \\ x_{1}{\color{blue}y_{2}}-x_{2}{\color{blue} y_{1}} \implies y_{2}-y_{1} \\ \end{align}

双代操作

设 M=(x0,y0)M=(x_{0},y_{0}) 在锥线x2a2+y2b2=1\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}上，则

k1=kMA=y1−y0x1−x0=−b2a2x1+x0y1+y0k2=kMB=y2−y0x2−x0=−b2a2x2+x0y2+y0\begin{align} k_{1}=k_{MA}=\frac{y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}=-\frac{b^2}{a^2} \frac{x_{1}+x_{0}}{y_{1}+y_{0}} \\ k_{2}=k_{MB}=\frac{y_{2}-y_{0}}{x_{2}-x_{0}}=-\frac{b^2}{a^2} \frac{x_{2}+x_{0}}{y_{2}+y_{0} } \end{align}

若给出了α(k1+k2)+βk1k2+λ=0\alpha(k_{1}+k_{2})+\beta k_{1}k_{2} + \lambda=0，将其交叉代入此方程.

为什么要交叉代入呢？是为了消去某些y1y2,y1y0y_{1}y_{2},y_{1}y_{0}之类的丑陋形式。

例：k1+k2=tk_{1}+k_{2}=t

可写作

{y1−y0x1−x0−b2a2x2+x0y2+y0=ty2−y0x2−x0−b2a2x1+x0y1+y0=t\displaystyle{ \begin{cases} \dfrac{y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}-\dfrac{b^2}{a^2} \dfrac{x_{2}+x_{0}}{y_{2}+y_{0}}=t \\ \dfrac{y_{2}-y_{0}}{x_{2}-x_{0}}-\dfrac{b^2}{a^2} \dfrac{x_{1}+x_{0}}{y_{1}+y_{0}}=t \\ \end{cases} }

通分两式，相减两式，化简（请动手算算，计算量虽然很大，但是也没那么大，因为两式形式相同，只算一遍替换符号即得另一式）可得：

x1y2−x2y1=(x0−2y0t)(y2−y1)+(−2b2x0a2t−y0)(x1−x2)x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}=\left( x_{0}-\frac{2y_{0}}{t} \right)(y_{2}-y_{1})+\left( -\frac{2b^2x_{0}}{a^2t}-y_{0} \right)(x_{1}-x_{2})

就可以得到它们过的定点。

其他同理。