$$\sin A+\sin B+\sin C=4\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}$$

证明

$$\begin{align} &\sin A+\sin B+\sin C= \\ &= 2\sin\left( \frac{A+B}{2} \right)\cos\left( \frac{A-B}{2} \right)+2\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2} \\ &=2\cos \frac{C}{2}\left( \cos\frac{A-B}{2}+\cos \frac{A+B}{2} \right) \\ &=4\cos \frac{C}{2}\cos \frac{A}{2}cos \frac{B}{2} \end{align}$$

类似有

$$\cos A+\cos B+\cos C=4\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}$$

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锐角三角形中

$$\sin A+\sin B+\sin C>2$$

证法 1:

锐角所以能抛掉某些项。

证法 2: 易知锐角三角形中 $\sin A>\cos B; \sin B>\cos A$

$$\begin{align} &\sin A+\sin B+\sin C \\ &=\sin A+\sin B+\sin A\cos B+\cos A\sin B \\ &>\sin ^{2}A+\sin ^{2}B+\cos ^{2}B+\cos ^{2}B \\ &>2 \end{align}$$

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证明 $\sin (\cos x)<\cos(\sin x)$