齐次点/线坐标

在 $\mathbb{RP}$ 中，元素可以用齐次点坐标或齐次线坐标来建立双射。需要注意的是，仅仅是一个三维数组是不能等同于齐次坐标的——还需要满足相应的等价关系。

设 $\mathbf{u}, \mathbf{x}$ 分别为线坐标和点坐标，则 $\langle u,x\rangle = 0 \iff u,x$ 关联。

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调和线束与交比的保形性

问：若线束是调和的，即 $p_{1},p_{2},p_{3},p_{4}$ 的坐标分别为 $a,b,a+\lambda_{1}b,a+\lambda_{2}b$，再找一条线 $c$ 去截它，为什么得到的四个交点 $P_{1},P_{2},P_{3},P_{4}$ 也满足 $(P_{1}P_{2};P_{3}P_{4}) = -1$ 呢？

答：叉积的分配律。 在 $\mathbb{RP}$ 平面中，两线的交点可用 $\mathbb{R}^3$ 中的叉积来求：

$$P = a \times c \;\Leftarrow\; P \cdot a = 0,\; P \cdot c = 0$$

由于对偶原理，反过来也是一样的。

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用斜率算交比

问：为什么斜率也可以用同样的方法来计算交比？

$$\frac{k_{1}-k_{3}}{k_{3}-k_{2}} \cdot \frac{k_{4}-k_{2}}{k_{1}-k_{4}}$$

答：用齐次坐标 $(1,k)$ 去截即可。

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交比的代数性质

$$(ab;cd)=(cd;ab)$$ $$(ab;cd) = \frac{1}{(ba;cd)}$$ $$(ab;cd) = 1 -(ac;bd)$$

点 $C$ 分线段 $AB$ 的定比为 $\lambda$ 时：

$$\vec{OC} = \vec{OA} + \frac{\lambda}{1+\lambda}\vec{AB}=\frac{x_{1}+\lambda x_{2}}{1+\lambda}$$

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完全四点形的调和性质

三组对边（对角线也算对边）的交点构成一个三点形，该三点形的任意两条边将过该顶点的四点形的两条对边调和分割。

共三组关系，都很容易找到：

$$\begin{aligned} &F(AB;IE)\\ &E(AC;KF)\\ &G(BD;JF) \end{aligned}$$

只需证明 $(AB;IE)$ 为一组调和点列，其余可通过点线对偶转换推出。

证法一：用 Ceva 和 Menelaus 定理

取 $\triangle FAB$，由 Ceva 和 Menelaus 定理：

$$\frac{FC}{CA} \cdot \frac{AI}{IB} \cdot \frac{BD}{DF} = \frac{FC}{CA} \cdot \frac{AE}{EB} \cdot \frac{BD}{DF}$$

对比得：

$$\frac{AI}{IB} = \frac{AE}{EB}$$

证法二：用齐次坐标

设 $ABCD$ 四点的齐次坐标为 $a,b,c,d$。由于四点线性相关，可适当选取系数使 $a+b+c+d=0$，故：

$$a+b=-(c+d)=e$$

其中 $e$ 代表 $AB$ 与 $CD$ 的交点 $E$。

同理：

$$\begin{aligned} a+c = -(b+d) &= f \\ a+d = -(c+b) &= g \end{aligned}$$

其中 $f$ 为 $AC$ 与 $BD$ 的交点 $F$，$g$ 为 $AD$ 与 $BC$ 的交点 $G$。由此可得完全四点形的全部调和关系。