2.5 一维基本形的对合

一维基本形的对合

定义 2.12：对合

非恒等的一维射影变换 ff 若满足

f2=f∘f=i,f^2=f\circ f=i,

则称为对合，等价地，f=f−1f=f^{-1}。

  • 不变元素：P↦PP\mapsto P。
  • 其余元素成对互换：P↔P′P\leftrightarrow P'。

定理 2.20：对称的双线性方程

一般一维射影变换的参数方程为

aλλ′+bλ+cλ′+d=0.a\lambda\lambda'+b\lambda+c\lambda'+d=0.

对合要求 λ↔λ′\lambda\leftrightarrow\lambda'，交换两个参数后必须仍表示同一对应，因而 b=cb=c：

aλλ′+b(λ+λ′)+d=0,ad−b2≠0.\boxed{a\lambda\lambda'+b(\lambda+\lambda')+d=0}, \qquad ad-b^2\ne0.

解出 λ′\lambda' 得

λ′=−bλ+daλ+b.\lambda'=-\frac{b\lambda+d}{a\lambda+b}.

定理 2.21：矩阵判据

上述变换的矩阵可取为

M=(−b−dab),det⁡M=ad−b2≠0.M= \begin{pmatrix} -b&-d\\ a&b \end{pmatrix}, \qquad \det M=ad-b^2\ne0.

一般地，对合矩阵可写为

M=(pqr−p),p2+qr≠0.M= \begin{pmatrix} p&q\\ r&-p \end{pmatrix}, \qquad p^2+qr\ne0.

它的迹为零，并且

M2=(p2+qr)I.M^2=(p^2+qr)I.

例如

f(λ)=3λ+42λ−3,M=(342−3),f(\lambda)=\frac{3\lambda+4}{2\lambda-3}, \qquad M=\begin{pmatrix}3&4\\2&-3\end{pmatrix},

有 M2=17IM^2=17I，所以 ff 是对合。

定理 2.22、2.23：确定对合

  • 两个不同的对应元素对唯一确定一个对合。
  • 一个非恒等射影变换只要有一对相异元素互相对应，就必为对合。

对第二点，可取这对元素为 0,∞0,\infty。若

f(λ)=aλ+bcλ+d,f(\lambda)=\frac{a\lambda+b}{c\lambda+d},

则 f(0)=∞f(0)=\infty 给出 d=0d=0，f(∞)=0f(\infty)=0 给出 a=0a=0，从而

f(λ)=kλ,f(f(λ))=λ.f(\lambda)=\frac{k}{\lambda}, \qquad f(f(\lambda))=\lambda.

由两对对应元素求对合

已知

0↔2,1↔3.0\leftrightarrow2, \qquad 1\leftrightarrow3.

代入对称方程得

a:b:d=−2:3:−6,a:b:d=-2:3:-6,

因而

−2λλ′+3(λ+λ′)−6=0.-2\lambda\lambda'+3(\lambda+\lambda')-6=0.

定理 2.24：不变元素与分类

令 λ′=λ\lambda'=\lambda，得对合的不变元素方程

aλ2+2bλ+d=0.a\lambda^2+2b\lambda+d=0.

判别式为

Δ=4(b2−ad).\Delta=4(b^2-ad).

由于 ad−b2≠0ad-b^2\ne0，必有 Δ≠0\Delta\ne0。因此：

  • 在复射影直线上，任一对合总有两个相异不变元素。
  • 在实射影直线上，Δ>0\Delta>0 为双曲型，有两个实不变元素。
  • 在实射影直线上，Δ<0\Delta<0 为椭圆型，没有实不变元素。
  • 非恒等对合不可能是抛物型，因为不会出现 Δ=0\Delta=0。

若 M2=kIM^2=kI，在实数范围也可用 kk 的符号判断：

  • k>0k>0：双曲型。
  • k<0k<0：椭圆型。
  • k=0k=0：MM 不可逆，不是射影变换。

定理 2.25：对合与调和点组

一个一维射影变换成为对合，当且仅当它有两个相异不变元素 E,FE,F，并且任一对相异对应元素 P,P′P,P' 被 E,FE,F 调和分离：

(PP′,EF)=−1.\boxed{(PP',EF)=-1}.

坐标推导

取

E=0,F=∞.E=0, \qquad F=\infty.

固定 0,∞0,\infty 的射影变换只能写成

λ′=kλ.\lambda'=k\lambda.

对合条件给出 k2=1k^2=1。k=1k=1 是恒等变换，所以非恒等对合必有

λ′=−λ.\lambda'=-\lambda.

因此

(PP′,EF)=(λ,−λ;0,∞)=λ−λ=−1.(PP',EF) =(\lambda,-\lambda;0,\infty) =\frac{\lambda}{-\lambda} =-1.

调和分离是两个点对之间的对称关系：

(PP′,EF)=(EF,PP′)=−1.(PP',EF)=(EF,PP')=-1.

有限参数下的例子

若不变元素为 E=0,F=1E=0,F=1，则

(λ,λ′;0,1)=−1(\lambda,\lambda';0,1)=-1

给出

2λλ′−λ−λ′=0,λ′=λ2λ−1.2\lambda\lambda'-\lambda-\lambda'=0, \qquad \lambda'=\frac{\lambda}{2\lambda-1}.

例如

2↔23,2\leftrightarrow\frac23,

而 0,10,1 保持不变。

定理 2.26：Desargues 对合定理

完全四点形 ABCDABCD 有三组对边：

AB 与 CD,AC 与 BD,AD 与 BC.AB\text{ 与 }CD, \qquad AC\text{ 与 }BD, \qquad AD\text{ 与 }BC.

任取一条不经过顶点 A,B,C,DA,B,C,D 的直线 ll，它与三组对边分别相交于

P,P′;Q,Q′;R,R′.P,P'; \qquad Q,Q'; \qquad R,R'.

则这三对点属于直线 ll 上的同一对合：

P↔P′,Q↔Q′,R↔R′.P\leftrightarrow P', \qquad Q\leftrightarrow Q', \qquad R\leftrightarrow R'.

由于两对对应元素已唯一确定对合，第三对交点被前两对完全决定。

若 ll 恰好经过完全四点形的两个对边点 X,YX,Y，那么 X,YX,Y 是该对合的两个不变元素。若第三组对边与 ll 相交于 Q,Q′Q,Q'，则

(QQ′,XY)=−1.(QQ',XY)=-1.

因此 Desargues 对合定理可看作完全四点形调和性定理的推广。

已做习题

已知对合中

2↔2,1↔4.2\leftrightarrow2, \qquad 1\leftrightarrow4.

由对称方程求得

λλ′=4.\boxed{\lambda\lambda'=4}.

不变元素满足 λ2=4\lambda^2=4，因此为 2,−22,-2，该对合是双曲型。

一刷掌握清单

  • 知道对合的定义与互换结构。
  • 能从对称双线性方程或迹为零的矩阵识别对合。
  • 理解 M2=kIM^2=kI 为何在射影意义下等于恒等变换。
  • 能由两对对应元素求对合。
  • 能判断对合的双曲型与椭圆型，并知道不存在抛物型对合。
  • 理解对合的不变元素与互换元素调和分离。
  • 知道 Desargues 对合定理的结论及其与完全四点形调和性的关系。

二刷待补

  • 完整追踪定理 2.22 的点列构造证明。
  • 用几何条件式 (2.19) 重做对合的确定性。
  • 阅读 Desargues 对合定理的完整中心射影证明。
  • 重做例 2.13--2.15 的几何构造。

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