4.1 二次曲线的射影定义

二次曲线的射影定义

代数定义

射影平面上的二次曲线可写为

Γ:F(x)=xTAx=0,A=AT,\Gamma:\quad F(x)=x^TAx=0, \qquad A=A^T,

其中 x=[x1:x2:x3]x=[x_1:x_2:x_3]，AA 为对称 3×33\times3 矩阵。展开为

a11x12+a22x22+a33x32+2a12x1x2+2a13x1x3+2a23x2x3=0.a_{11}x_1^2+a_{22}x_2^2+a_{33}x_3^2 +2a_{12}x_1x_2+2a_{13}x_1x_3+2a_{23}x_2x_3=0.

方程必须齐次：若 FF 为二次齐次式，则

F(cx)=c2F(x),F(cx)=c^2F(x),

所以更换齐次坐标的代表向量不会改变点是否在曲线上。

det⁡A≠0  ⟺  Γ 非退化.\boxed{\det A\ne0\iff\Gamma\text{ 非退化}}.

det⁡A=0\det A=0 时，二次式在复数范围内可分解为两个一次因式，几何上表示两条直线（可能重合）。

射影线束生成二次曲线

以

O=[0:1:0]O=[0:1:0]

为中心的所有直线可写成

pλ:x1−λx3=0.p_\lambda:\quad x_1-\lambda x_3=0.

推导：一般直线 u1x1+u2x2+u3x3=0u_1x_1+u_2x_2+u_3x_3=0 经过 OO 使得 u2=0u_2=0；对系数整体归一化后即得上式。λ=∞\lambda=\infty 表示直线 x3=0x_3=0。

类似地，以

O′=[1:0:0]O'=[1:0:0]

为中心的线束可写成

pλ′′:x2−λ′x3=0.p'_{\lambda'}:\quad x_2-\lambda'x_3=0.

对应直线的交点为

P=[λ:λ′:1].P=[\lambda:\lambda':1].

若两线束之间的射影对应为

aλλ′+bλ+cλ′+d=0,ad−bc≠0,a\lambda\lambda'+b\lambda+c\lambda'+d=0, \qquad ad-bc\ne0,

代入 λ=x1/x3,λ′=x2/x3\lambda=x_1/x_3,\lambda'=x_2/x_3 得

ax1x2+bx1x3+cx2x3+dx32=0.ax_1x_2+bx_1x_3+cx_2x_3+dx_3^2=0.

因此，两个不同中心的射影对应线束，其对应直线的交点轨迹为一条经过两个线束中心的二次曲线。

例如，λλ′=1\lambda\lambda'=1 生成

x1x2−x32=0,x_1x_2-x_3^2=0,

在仿射部分 x3=1x_3=1 中就是 x1x2=1x_1x_2=1。

五点唯一确定

平面上五个无三点共线的点唯一确定一条非退化二次曲线。

几何理由：取其中两点 O,O′O,O' 为线束中心，余下三点 PiP_i 给出三对对应直线

OPi⟷O′Pi.OP_i\longleftrightarrow O'P_i.

三对对应元素唯一确定两个一维基本形之间的射影对应，因而唯一生成一条经过五点的二次曲线。

代数理由：对称矩阵 AA 有 66 个系数，扣除整体比例后有 55 个自由度。

若一条二次曲线含有三个不同的共线点，则其在该直线上的一元二次方程有三个根，只能恒为零；整条直线成为曲线的组成部分，因而曲线退化。

切线

与非退化二次曲线相交于两个重合点的直线称为切线。

若

Γ:F(x)=xTAx=0\Gamma:\quad F(x)=x^TAx=0

且 P=[p]∈ΓP=[p]\in\Gamma，则 PP 处的切线为

pTAx=0.\boxed{p^TAx=0}.

证明：取 PP 在二次曲线上。显然有

pTAp=0p^T Ap=0

取另一点 Q≠PQ \neq P 则 PQPQ 上的点可表示为 p+tqp+t q . 联立方程后，应该只解得一个二重根。这个条件就是所求的切线方程。

F(p+tq)=(p+tq)TA(p+tq)=pTAp+2t pTAq+t2qTAq.\begin{aligned} F(p+tq) &=(p+tq)^TA(p+tq)\\ &=p^TAp+2t\,p^TAq+t^2q^TAq. \end{aligned}

第一项 pTAp=0p^TAp=0 要解出二重根，必须b2−4ac=b2=(2tpTAq)2=0b^2-4ac=b^2=(2tp^TAq)^2=0 。所以可以解得使PQPQ为切线的方程为

pTAq=0p^TAq=0

PP固定了，QQ的轨迹就是切线。故切线方程为

pTAx=0p^TAx=0

等价地，切线的线坐标为

u=Ap.\boxed{u=Ap}.

对二次齐次式，也可用下列机械公式：

Fx1(P)x1+Fx2(P)x2+Fx3(P)x3=0.F_{x_1}(P)x_1+F_{x_2}(P)x_2+F_{x_3}(P)x_3=0.

一刷只需会用公式，偏导与 Euler 齐次函数公式的解释留待二刷。

例如，对

F=x1x2−x32F=x_1x_2-x_3^2

在 P=[1:1:1]P=[1:1:1] 处的切线为

x1+x2−2x3=0.x_1+x_2-2x_3=0.

点曲线与线曲线的对偶

当 AA 可逆时，由 u=Apu=Ap 得 p=A−1up=A^{-1}u。代入 pTAp=0p^TAp=0 得到所有切线的线坐标方程

uTA−1u=0.\boxed{u^TA^{-1}u=0}.

所以同一条非退化二次曲线既可以由曲线上的点描述，也可以由它的全体切线描述。这是 Maclaurin 定理的代数核心。

二阶曲线束

由两条相异二次曲线 f=0,g=0f=0,g=0 生成的二阶曲线束为

f+λg=0.\boxed{f+\lambda g=0}.

严格地说，参数是射影参数 [s:t][s:t]，方程为 sf+tg=0sf+tg=0；λ=∞\lambda=\infty 对应 g=0g=0。

  • f=0f=0 与 g=0g=0 的四个公共点称为基点，每个基点都在曲线束的所有成员上。
  • 经过任意一个非基点 PP，曲线束中有唯一成员，其参数由 f(P)+λg(P)=0f(P)+\lambda g(P)=0 确定。
  • 以四个基点 A,B,C,DA,B,C,D 为顶点的曲线束有三条退化成员：
AB⋅CD=0,AC⋅BD=0,AD⋅BC=0.AB\cdot CD=0, \qquad AC\cdot BD=0, \qquad AD\cdot BC=0.

其中 AB=0AB=0 是直线 ABAB 的方程的简写，AB⋅CD=0AB\cdot CD=0 表示两条直线 AB,CDAB,CD 的并。

二刷待补

  • 用二重交点参数方程完整推导切线方程。
  • 理解偏导、梯度与 Euler 齐次函数公式为何给出同一切线。
  • 补二级曲线的完整对偶证明。
  • 补定理 4.4--4.6 关于二阶曲线束的代数证明。

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