规律 A：正负号看“C”

凡是 C 开头的三角函数，其导数一定带有 负号：

• $(\cos x)' = -\sin x$
• $(\cot x)' = -\csc^2 x$
• $(\csc x)' = -\csc x \cot x$

规律 B：三组固定搭档

导数公式总是成对出现的：

• sin cos
• tan sec sec
• cot -csc csc 后两组使用方法：最左边的导数是右边乘起来，最右边的导数是左边乘起来

反三角函数的导数：平方根与平方

反三角函数的导数其实只有 两类结构，你只需要记住两个，剩下的只是加个负号。

结构一：$1/\sqrt{1-x^2}$（弧度与圆的联系）

• $\arcsin x$ 的导数是 $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$。（圆）
• $\arccos x$ 的导数就是它加个负号：$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$。

结构二：$1/(1+x^2)$（没有根号）

• $\arctan x$ 的导数是 $\frac{1}{1+x^2}$。
• $\text{arccot } x$ 的导数就是它加个负号：$-\frac{1}{1+x^2}$。

记忆技巧： $\tan$ 对应的是“+”号且没有根号，可以联想勾股定理 $1^2 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$ 的平滑感。

积分

一步推出

$$\int \tan x dx = -\log|\cos x|+C$$

这个有个比较tricky的方法： $\int \sec x \, dx$ 可以上下同乘$\sec x+\tan x$

• 展开分子： $\int \frac{\sec^2 x + \sec x \tan x}{\sec x + \tan x} \, dx$

• 观察导数关系： * $(\sec x)' = \sec x \tan x$

  • $(\tan x)' = \sec^2 x$ 因此，分子正好是分母的导数。

• 利用对数积分公式 $\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln|f(x)| + C$： $\int \sec x \, dx = \ln|\sec x + \tan x| + C$

例