gg (4 封私信 / 2 条消息) 半角公式的推导（超详细版） - 知乎

一、半角公式

$$\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}$$ $$\cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}$$ $$\tan\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}$$

其中，正负号由 $\dfrac{\alpha}{2}$ 所在的象限决定。

推导

由二倍角公式和 $\sin^2\dfrac{\alpha}{2}+\cos^2\dfrac{\alpha}{2}=1$，可得：

$$\begin{aligned} \cos\alpha &=\cos^2\frac{\alpha}{2}-\sin^2\frac{\alpha}{2} \\ &=2\cos^2\frac{\alpha}{2}-1 \\ &=1-2\sin^2\frac{\alpha}{2}. \end{aligned}$$

因此：

$$\cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}, \qquad \sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}.$$

两式相除，得到：

$$\tan\frac{\alpha}{2} =\frac{\sin\dfrac{\alpha}{2}}{\cos\dfrac{\alpha}{2}} =\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}.$$

还有这个，比较无聊。

二、正切半角公式的拓展

$$\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}$$ $$\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}$$

推导

利用

$$\sin\alpha=2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}, \qquad \cos\alpha=2\cos^2\frac{\alpha}{2}-1,$$

分子、分母同乘 $2\cos\dfrac{\alpha}{2}$：

$$\begin{aligned} \tan\frac{\alpha}{2} &=\frac{\sin\dfrac{\alpha}{2}}{\cos\dfrac{\alpha}{2}} \\ &=\frac{2\sin\dfrac{\alpha}{2}\cos\dfrac{\alpha}{2}} {2\cos^2\dfrac{\alpha}{2}} \\ &=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}. \end{aligned}$$

再利用

$$\cos\alpha=1-2\sin^2\frac{\alpha}{2},$$

分子、分母同乘 $2\sin\dfrac{\alpha}{2}$：

$$\begin{aligned} \tan\frac{\alpha}{2} &=\frac{\sin\dfrac{\alpha}{2}}{\cos\dfrac{\alpha}{2}} \\ &=\frac{2\sin^2\dfrac{\alpha}{2}} {2\sin\dfrac{\alpha}{2}\cos\dfrac{\alpha}{2}} \\ &=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}. \end{aligned}$$

减永远在分子，加永远在分母，对上面这些所有tan公式