不联立（双代法）

这种方法适用于给出了两点连接在锥线上的一点，α(k1+k2)+βk1k2+λ=0\alpha(k_{1}+k_{2})+\beta k_{1}k_{2} + \lambda=0，求直线过定点的题目。对所求定点的位置没有要求。

若被连接的点不在锥线上，则无法使用这种方法，但是一般可通过一些方法转化。

但是，若定点的位置在轴上，这种方式会显得比较麻烦。这时，可以选择轴点差方法简化计算。参见。。

直线的两点式方程

设有两点

A=(x1,y1),B=(x2,y2)A=(x_{1},y_{1}),B=(x_{2},y_{2})

则可将两点确定的直线方程写作

y1−yx1−x=y2−yx2−x\frac{y_{1}-y}{x_{1}-x}=\frac{y_{2}-y}{x_{2}-x}

化简有

x1y2−x2y1=(y2−y1)x+(x1−x2)yx_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}=(y_{2}-y_{1})x+(x_{1}-x_{2})y

这个式子可以通过左边的形式记忆右边到底是谁减谁。

x1y2−x2y1  ⟹  x1−x2x1y2−x2y1  ⟹  y2−y1\begin{align} {\color{blue}x_{1}}y_{2}-{\color{blue}x_{2}}y_{1} \implies x_{1}-x_{2} \\ x_{1}{\color{blue}y_{2}}-x_{2}{\color{blue} y_{1}} \implies y_{2}-y_{1} \\ \end{align}

双代操作

设 M=(x0,y0)M=(x_{0},y_{0}) 在锥线x2a2+y2b2=1\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}上，则

k1=kMA=y1−y0x1−x0=−b2a2x1+x0y1+y0k2=kMB=y2−y0x2−x0=−b2a2x2+x0y2+y0\begin{align} k_{1}=k_{MA}=\frac{y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}=-\frac{b^2}{a^2} \frac{x_{1}+x_{0}}{y_{1}+y_{0}} \\ k_{2}=k_{MB}=\frac{y_{2}-y_{0}}{x_{2}-x_{0}}=-\frac{b^2}{a^2} \frac{x_{2}+x_{0}}{y_{2}+y_{0} } \end{align}

若给出了α(k1+k2)+βk1k2+λ=0\alpha(k_{1}+k_{2})+\beta k_{1}k_{2} + \lambda=0，将其交叉代入此方程

例：k1+k2=tk_{1}+k_{2}=t

可写作

{y1−y0x1−x0−b2a2x2+x0y2+y0=ty2−y0x2−x0−b2a2x1+x0y1+y0=t\displaystyle{ \begin{cases} \dfrac{y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}-\dfrac{b^2}{a^2} \dfrac{x_{2}+x_{0}}{y_{2}+y_{0}}=t \\ \dfrac{y_{2}-y_{0}}{x_{2}-x_{0}}-\dfrac{b^2}{a^2} \dfrac{x_{1}+x_{0}}{y_{1}+y_{0}}=t \\ \end{cases} }

通分两式，相减两式，化简（请动手算算，计算量虽然很大，但是也没那么大，因为两式形式相同，只算一遍替换符号即得另一式）可得：

x1y2−x2y1=(x0−2y0t)(y2−y1)+(−2b2x0a2t−y0)(x1−x2)x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}=\left( x_{0}-\frac{2y_{0}}{t} \right)(y_{2}-y_{1})+\left( -\frac{2b^2x_{0}}{a^2t}-y_{0} \right)(x_{1}-x_{2})

就可以得到它们过的定点。

其他同理。