本文未完成，正在施工。预计九月前写完。

高中圆锥曲线的题目经过变形都一般能归化到这些子问题，这篇文章梳理这些子问题，给出典例（不会给具体解法），并给出对应的解法名称与链接。

如果你不知道对合或极点极线并不影响阅读本文，观察例子的普遍形式即可。

一、对合类

一般有三类问题。

1. 已知对合方程，求定点（对合中心）

概述 这类问题一般给出锥线 $\Gamma$ 上一个定点$A$与两个动点 $M,N$ ，令$k_{1}=k_{AM},k_{2}=k_{AN}$给出对合方程 $\alpha k_{1}k_{2}+\beta(k_{1}+k_{2})+\gamma=0$ 求 $MN$ 所过的定点（MN斜率为定值时可看做过无穷远点）。

由于定点确定，一个动点的自由度为1（可以用参数方程表示）则此动点也可以用另一个动点的参数表示，化简可以得一个一次关系，这条线也只有一个自由度，所以过定点或斜率一定。用常规韦达的话会化简出直线的两个参数之间的关系，故其也相当于确立了过一个定点。

大部分情况下为了简化运算题目都会给出仅和或积的关系（$\alpha=0$或$\beta=0$）

典例

$k_{1}k_{2}=-1$

$k_{1}+k_{2}=-1$

$k_{MB}k_{NB}=\text{定值}$

原因是根据第三定义 $k_{MA}k_{MB}=-\dfrac{b^2}{a^2}$ 而 $\dfrac{k_{MA}}{k_{NB}}=\text{定值}$

像这样问题有 $\color{yellow}{超级无敌狂拽杀马特多}$ 种做法，也可被归到极点极线类问题中。

$E:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1,T(1,1),过T的两条斜率和为1的直线分别交E于A,B和C,D，取AB,CD之中点M,N，求证：MN过定点$

虽然定点$T$不在$E$上，但是可以转化。

$M,N,T$由结论二次曲线定点弦的中点轨迹也是同型二次曲线共二次曲线，故确立这这条二次曲线上的一个对合。

椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ 上一点 $A(1,\frac{3}{2})$ ，过 $A$ 作两条直线分别交椭圆于 $B,C$ ，如果 $k_{AB}\cdot k_{AC}=-\frac{9}{4}$ ，求证直线 $BC$ 过定点。

类似。

方法

• 直接设线朴素韦达法
• 仅有和或积的关系时：齐次化联立法（可用换元代替平移）
• 锥线篇（01）双代法（斜率双用法）
• （非）轴点差法/定点调整法（合比）
• 斜率调整法（合比）
• 三角代换/参数方程表示法
• 对合性质法（高考不能用）
• 特殊值法（用来蒙答案）

齐次化联立很多时候计算量并不会比使用恰当变形和硬解公式的朴素韦达法计算量更小。在情况复杂时不推荐使用。

双代法在定点不在轴上的时候比较无脑。但是在轴上时计算量远大于轴点差法。

定点在轴上一律推荐使用轴点差。

2. 已知对合轴/对合中心，求对合方程

概述 给出一过定点的直线，求其与锥线的两个交点与锥线上一点连线斜率的方程关系。

典例

椭圆 $\frac{x^2}{2}+y^2=1$ 上一点 $A(0,-1)$ ，过定点 $B(1,1)$ 作椭圆的割线，交点为 $C,D$ ，求证 $k_{AC}+k_{AD}$ 为定值。

2018全国I(理)

等价于证明$k_{1}+k_{2}=0$

一目了然

二、极点极线类

22年乙卷

调和点列的性质。

三、度量性质类

第(2-ii)问是度量性质。这里的主要问题就是把面积/弦长表示成什么参数。斜率可以，倾斜角也可以。

方法

各种设点的方法

四、射影性质类

二次曲线的射影定义可以确立$k_{1},k_{2},k_{3},k_{4}$之间两两的分式线性变换。分式线性变换的组合具有封闭性（事实上，因为可以被写成矩阵，有逆元，它甚至构成一个群，不过这个结论基本没有任何用处），故可以找到$k_{1},k_{4}$间的关系，确立$N$在一个二次曲线上。

五、计算化简技巧类

点乘双根法