锥线篇（05）二次曲线与中心射影变换

先看一道典例。（手动@鸽姬布）

用对合的方式看（这段看不懂忽略即可）点PP作为对合中心，确立了A,BA,B之间的一个对合，记为σP\sigma_{P}。A,BA,B经过定点QQ透视后的像C,DC,D之间也应该满足对合关系，记这个对合的中心也就是CDCD过的定点为P′P'，这个对合为σP′\sigma_{P'}，由对合定义

C,D→σQA,B→σPB,A→σQD,CD,C→σQB,A→σPA,B→σQC,D\begin{align} C,D\xrightarrow{\sigma_{Q}}A,B\xrightarrow{\sigma_{P}}B,A\xrightarrow{\sigma_{Q}}D,C\\ D,C\xrightarrow{\sigma_{Q}}B,A\xrightarrow{\sigma_{P}}A,B\xrightarrow{\sigma_{Q}}C,D\\ \end{align}

故有

σP′=σQ∘σP∘σQ\sigma_{P'}=\sigma_{Q}\circ \sigma_{P} \circ \sigma_{Q}

其中A∘BA\circ B表映射的复合。

简而言之就是ABAB过定点则CDCD过定点。

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直接追踪四点 A,B,C,DA,B,C,D 可以证明CDCD过定点，但更自然的做法是寻找一个把 AA 变为 CC、把 BB 变为 DD 的二维射影变换。

同调（中心射影变换）正是描述这类现象的基本工具。它把一个固定中心、一条固定轴和一族共线的对应点联系起来。注意：这里的同调(homology)和抽象代数上的同调(homology)没有任何关系。

同调与二次曲线

射影变换 HH 若满足：任意点 XX 与其像 X′=H(X)X'=H(X) 都和某个固定点 QQ 共线，则称 QQ 为 HH 的中心。若某条直线 qq 上的点全部保持不动，则称 qq 为 HH 的轴。具有这两个性质的射影变换称为同调。

因此，同调的几何特征是：

点与像的连线共中心点，轴上的点逐点不动。\text{点与像的连线共中心点，轴上的点逐点不动。}

回到二次曲线 EE，固定点 QQ。对任意 A∈EA\in E，直线 QAQA 与 EE 的另一交点为 CC，于是

A↦C,Q,A,C 共线.A\mapsto C,\qquad Q,A,C\text{ 共线}.

设 qq 是 QQ 关于 EE 的极线：

q=polar⁡(Q).q=\operatorname{polar}(Q).

点 QQ 与直线 qq 分别作为中心和轴，确定一个特殊的同调 HQH_Q，满足

HQ(A)=C.H_Q(A)=C.

它称为调和同调。若过 QQ 的直线与轴 qq 交于 RR，则对任意点 XX 及其像 X′X'，有

(Q,R;X,X′)=−1.(Q,R;X,X')=-1.

所以，二次曲线上“取过 QQ 的割线的另一交点”这一操作，正是整个射影平面上的调和同调在二次曲线上的限制。

对合中心如何变换

原来 P∈ABP\in AB。施加同调 HQH_Q 后，射影变换保持共线性，并把直线变为直线，因此

HQ(AB)=CD.H_Q(AB)=CD.

令

P′=HQ(P).P'=H_Q(P).

由于 P∈ABP\in AB，便有

P′∈CD.P'\in CD.

这对任意位置的 A,BA,B 都成立，所以新对合 C↔DC\leftrightarrow D 的中心就是

P′=HQ(P).P'=H_Q(P).

因此，新直线族通过定点只是旧直线族在同调下的像：

AB∋P⟹CD=HQ(AB)∋HQ(P).AB\ni P \quad\Longrightarrow\quad CD=H_Q(AB)\ni H_Q(P).

若要作出 P′P'，一种方式是做P′=CD∩PQP'=CD \cap PQ，但是此时还没有说明它是CDCD恒过的定点。下面说明这一点。用交比迫使其成为一个定点。令

R=PQ∩q,R=PQ\cap q,

其中 qq 是 QQ 的极线。由于 P,P′,QP,P',Q 共线，且 RR 在同调的轴上不动，点 P′P' 满足调和关系，被唯一确定

(Q,R;P,P′)=−1.(Q,R;P,P')=-1.

所以作图步骤为：先作 QQ 的极线 qq，取 R=PQ∩qR=PQ\cap q，再在直线 PQPQ 上作 P′P'，使上式成立。

同调的研究价值

同调的价值在于，它把局部的点线关系提升为整个平面的变换关系。若原图中有

A,B,P 共线,A,B,P\text{ 共线},

那么经过射影变换后，其像仍然共线。因此，复杂图形若能看成简单图形经过同调得到，许多共线、共点和定线结论都无需重新证明。

本题的核心可以概括为

A↔B⟼C↔D,A\leftrightarrow B \quad\longmapsto\quad C\leftrightarrow D,

其中 A↦C, B↦DA\mapsto C,\ B\mapsto D 来自同一个调和同调。因此，对合中心也随之变换：

P↦P′=HQ(P).P\mapsto P'=H_Q(P).

应记住的原则是：

找到适当的射影变换后，新的定点就是旧定点的像。\text{找到适当的射影变换后，新的定点就是旧定点的像。}

同调正是实现这一原则的基本工具之一。