用双曲函数记住一组对数不等式

残留了一点ai味，因为文章大体结构是ai写的，勿在意（。

高中数学极值点偏移问题中经常见一组看起来很难记的不等式：

$\frac{x^2-1}{x^2+1} < \frac{2(x-1)}{x+1} < \ln x < \sqrt x-\frac1{\sqrt x} < \frac12\left(x-\frac1x\right), \qquad x>1.$

如果直接记五个式子，很容易混乱。一个有趣的办法是作换元 ${x=e^t},\qquad t=\ln x$ 此时 $x>1\iff t>0$。引入双曲函数后，这串不等式将变得显然，下面介绍一下双曲三角函数的基本性质。

双曲函数的几个基本性质

定义 $\sinh t=\frac{e^t-e^{-t}}2,\qquad \cosh t=\frac{e^t+e^{-t}}2,$ 以及 $\tanh t=\frac{\sinh t}{\cosh t}.$

它们和普通三角函数十分相似。这里我们只需要几条性质：

$$\begin{align} \cosh^2t-\sinh^2t&=1, \\ (\sinh t)'&=\cosh t, \\ (\cosh t)'&=\sinh t \end{align}$$

以及倍角公式

$$\begin{align} \sinh 2t&=2\sinh t\cosh t \\ \tanh 2t&=\frac{2\tanh t}{1+\tanh^2t} \end{align}$$

有一个巧记的方法，双曲函数的变形公式和三角函数相同，除了将所有含二次$\sinh$的式子换成负的。

其中 $\sinh t,\tanh t$ 是奇函数，$\cosh t$ 是偶函数。

如果你知道欧拉公式的话其实也可以这样看

由

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

以及指数形式的三角函数，可以得到

${\cos(ix)=\cosh x,\qquad \sin(ix)=i\sinh x}$

因此双曲函数可以看作普通三角函数取“虚角”后的版本。

例如

$\cos^2x+\sin^2x=1$

把 $x$ 换成 $ix$，便得到

$\cosh^2x-\sinh^2x=1$

上述二次符号差异，本质上都来自

$i^2=-1$

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五个式子全部化成双曲函数

令

$x=e^t$

下面逐个变形。

第一项：

$\frac{x^2-1}{x^2+1} = \frac{e^{2t}-1}{e^{2t}+1}=\frac{e^t-e^{-t}}{e^t+e^{-t}}=\tanh t$

第二项：

$\frac{2(x-1)}{x+1} = 2\frac{e^t-1}{e^t+1}=2\frac{e^{t/2}-e^{-t/2}} {e^{t/2}+e^{-t/2}}=2\tanh \frac{t}{2}$ 第三项显然是

${\ln x=t}$

第四项：

$\sqrt x-\frac1{\sqrt x} = e^{t/2}-e^{-t/2} = {2\sinh\frac t2}$

第五项：

$\frac12\left(x-\frac1x\right) = \frac{e^t-e^{-t}}2 = {\sinh t}$

于是原来的五项变成了：

$\tanh t,\qquad 2\tanh\frac t2,\qquad t,\qquad 2\sinh\frac t2,\qquad \sinh t$

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四个不等式

图中从上到下分别是$\cosh x,\sinh x,x,\tanh x$，至于为什么长这样可以自行求导研究。

这些性质都很显然，建议读者自证。下面给出参考证法

现在只需证明 $t>0$ 时

$\color{blue}{ \tanh t < 2\tanh\frac t2 < t < 2\sinh\frac t2 < \sinh t }$

第一段

$\tanh 2u = \frac{2\tanh u}{1+\tanh^2u}$ 因此

$\tanh 2u<2\tanh u,$

第二、三段

就是证

$$\tanh x<x<\sinh x$$

求导易证，看图不难。

第四段

$2\sinh\frac t2<\sinh t.$ 由$\cosh x\geq1$和倍角公式易得。

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故：

$\tanh t < 2\tanh\frac t2 < t < 2\sinh\frac t2 < \sinh t$

换回 $x=e^t$，就得到

$\color{blue}{ \frac{x^2-1}{x^2+1} < \frac{2(x-1)}{x+1} < \ln x < \sqrt x-\frac1{\sqrt x} < \frac12\left(x-\frac1x\right) } \qquad(x>1)$

如果 $0<x<1$，那么 $t=\ln x<0$。由于这里出现的五个关于 $t$ 的函数全是奇函数，整条不等式反向；而 $x=1$ 时五项都等于 $0$。

故曰：

$$\color{blue}{ \text{ tanh 在左，sinh 在右；半角靠中间，整角放两边。 }}$$