二维射影变换

射影坐标系

平面上的一个射影坐标系由四个无三点共线的点组成：

$$E_1=[1:0:0],\quad E_2=[0:1:0],\quad E_3=[0:0:1],\quad I=[1:1:1].$$

$E_1,E_2,E_3$ 是三个基点，确定坐标方向；$I$ 是单位点，固定三个基向量的相对尺度。

仅固定三个基点时，仍允许

$$A=\operatorname{diag}(\alpha,\beta,\gamma).$$

再固定 $I$，则

$$[\alpha:\beta:\gamma]=[1:1:1]$$

迫使 $\alpha=\beta=\gamma$，此时 $A$ 只是数量矩阵，表示恒等射影变换。

代数表示

$$\rho x'=Ax, \qquad x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}, \qquad \det A\ne0.$$

或者简写为

$$[x]\longmapsto[Ax].$$

• $\det A\ne0$ 保证变换为双射。
• $A$ 与 $cA\;(c\ne0)$ 表示同一射影变换。
• 四对对应点，且每一方均无三点共线，唯一确定一个二维射影变换。这等价于指定一个射影坐标系的像。

点与直线的变换

直线的齐次方程写为

$$u^Tx=0,$$

其中 $u$ 是直线坐标，即方程的系数列向量。当

$$x'=Ax$$

时，代入 $x=A^{-1}x'$ 得

$$u^TA^{-1}x'=0.$$

因此像直线的坐标为

$${u'}^T=u^TA^{-1}, \qquad \boxed{u'=A^{-T}u}.$$

所以点坐标与线坐标的变换方式不同：

$$\boxed{x'\sim Ax}, \qquad \boxed{u'\sim A^{-T}u}.$$

这个逆转置保证关联关系不变：

$$u^Tx=0 \quad\Longrightarrow\quad {u'}^Tx'=0.$$

不变元素

不变点 $[x]$ 满足

$$[Ax]=[x] \iff Ax=\lambda x,$$

因此由 $A$ 的特征向量给出。

不变直线 $[u]$ 由 $A^T$ 的特征向量给出，线坐标 $[u_1:u_2:u_3]$ 表示方程

$$u_1x_1+u_2x_2+u_3x_3=0.$$

例如，当

$$A=\operatorname{diag}(2,3,4)$$

时，三个不变点为

$$[1:0:0],\quad[0:1:0],\quad[0:0:1],$$

三条不变直线为

$$x_1=0,　x_2=0,　x_3=0.$$

阅读取舍

• 已掌握：定义 2.15、2.16，四点唯一确定，点变换与线变换，不变元素。
• 一刷可略：定理 2.27--2.30 的详细几何证明，例 2.17 中繁琐的特征方程计算。
• 快速路径：第三章“变换群与几何”暂时跳过，下一步进入第四章“二次曲线理论”。

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