在平面极坐标中，位置矢量为

$$\mathbf r=r\mathbf e_r,$$

其中两个正交单位基矢为

$$\begin{aligned} \mathbf e_r&=\mathbf i\cos\theta+\mathbf j\sin\theta,\\ \mathbf e_\theta&=-\mathbf i\sin\theta+\mathbf j\cos\theta. \end{aligned}$$

它们会随质点的角位置 $\theta(t)$ 转动，因此

$$\frac{d}{d\theta}\mathbf{e}_{r}=\mathbf{e}_{\theta}$$ $$\frac{d}{d\theta}\mathbf{e}_{\theta}=-\mathbf{e}_{r}$$ $$\begin{cases} \dot{\mathbf{e}_{r}}=\dot{\theta}\mathbf{e}_{\theta} \\ \dot{\mathbf{e}_{\theta}}=-\dot{\theta}\mathbf{e}_{r} \end{cases}$$

速度

$$\begin{align} \mathbf{v} &= \frac{d}{dt} (r\mathbf{e}_{r})\\ &=\dot{r}\mathbf{e}_{r}+r \dot{\mathbf{e}_{r}} \\ &=\dot{r}\mathbf{e}_{r}+r\dot{\theta}\mathbf{e}_{\theta}. \end{align}$$

若定义标量分量 $v_r,v_\theta$ 使

$$\mathbf v=v_r\mathbf e_r+v_\theta\mathbf e_\theta,$$

则

$$\boxed{v_r=\dot r,\qquad v_\theta=r\dot\theta}.$$

这里 $\dot\theta$ 是角速度，量纲为 $T^{-1}$；$r\dot\theta$ 才是切向线速度，量纲为 $LT^{-1}$。

加速度

$$\begin{align} \mathbf{a}&=\frac{d}{dt}\mathbf{v} \\ &=\frac{d}{dt}\left(\dot r\mathbf e_r+r\dot\theta\mathbf e_\theta\right)\\ &=\ddot r\mathbf e_r+\dot r\dot{\mathbf e}_r +(\dot r\dot\theta+r\ddot\theta)\mathbf e_\theta +r\dot\theta\dot{\mathbf e}_\theta\\ &=(\ddot{r}-r \dot{\theta}^2)\mathbf{e}_{r} +(2\dot{r}\dot{\theta}+r \ddot{\theta})\mathbf{e}_{\theta}. \end{align}$$

若定义标量分量 $a_r,a_\theta$ 使

$$\mathbf a=a_r\mathbf e_r+a_\theta\mathbf e_\theta,$$

则

$$\boxed{ \begin{aligned} a_r&=\ddot r-r\dot\theta^2,\\ a_\theta&=2\dot r\dot\theta+r\ddot\theta. \end{aligned}}$$

两项加速度的量纲均为 $LT^{-2}$：例如 $r\dot\theta^2$、$\dot r\dot\theta$ 和 $r\ddot\theta$ 都具有该量纲。

简单验证

匀速圆周运动

令 $r=R$、$\dot r=\ddot r=0$，并令 $\dot\theta=\omega$ 为常数、$\ddot\theta=0$，则

$$\mathbf v=R\omega\mathbf e_\theta, \qquad \mathbf a=-R\omega^2\mathbf e_r.$$

加速度指向圆心，且其大小为 $R\omega^2=v^2/R$，与向心加速度一致。

纯径向运动

令 $\theta=\theta_0$ 为常数，因此 $\dot\theta=\ddot\theta=0$，则

$$\mathbf v=\dot r\mathbf e_r, \qquad \mathbf a=\ddot r\mathbf e_r.$$

此时 $\mathbf e_r$ 的方向固定，结果退化为沿固定直线的一维运动。