作者：千秋 Lead | 原文：知乎专栏 10月30日开始记录，尚在更新中

这篇文章是关于Youtube上视频Tensors For Beginners系列的笔记，他以十分精采的方式介绍了一个可能看起来十分玄幻的概念：张量。我将会将他的内容转述成文字版，并补充一些个人理解，如有错误，敬请指正。

前置知识：高中数学向量部分；矩阵；

什么是张量

最简单的定义：一个高维数组

我们把一个数字称为标量

；一列有序的标量称为向量

，可以用一个下标索引一个数字；几行有序的向量称为矩阵

，可以用两个下标索引一个数字。

就到此为止了吗？我们为什么没有听过矩阵叠起来的“立方阵”

呢？

其实，不仅有三维的“立方阵”，还有更高维度的数组，这种数组，我们统称为张量。而张量的阶就代表了张量的维度。

现在我们可以知道它为什么叫“张量”了，仅用一个符号n个下标，我们就可以把它“拉开”形成一个n维的数组。

当然这种定义是过分简单化的，因为它没有体现张量的任何性质。高维数组仅仅是有限个数字的组合，但是张量不同。张量本质上是几何的。我们说高维数组可以描述张量，但是它并非张量本身。

实际上，计算机上所称的张量，也就是这层定义下的了。

几何上的定义：在坐标系变换下本身不变，且其分量有规律地改变的数学对象

这句定义十分的拗口，但是我们将它与“高维数组”的定义结合起来看，它就不会有那么难以理解。

首先，“在坐标系变换下本身不变”是什么意思呢？假若你面前有一个苹果，我们设它与你视线的角度为

（规定逆时针为正向），如果你向右转头90度即逆时针转头

，那么这个

相对于你的视线将会从0变为

。无论你是否扭头，自始至终，苹果的位置一直是苹果的位置，但是描述苹果的

这个量却在扭头后变了，而且和你扭头的量正好呈相反数（有规律改变）。

还有一个我从知乎上看到的更亲民的例子，人民币和日元，若设V为实际价值，E为“价格数字”，则约有

，但是一个同样价值的东西，却有

。

那么，依照上面的定义，我们可以说苹果的位置和金钱的价值在我的例子中是一个一维张量，总是不变，变的是我们描述它用的角度。由此可以看出，一个零阶张量比一个标量有更丰富的意义。

需要注意的是，上述的分量都是和“参考量”发生相反变化的。而“参考量”其实也是一个张量（回想一下定义，参考量也可以变换），我们一般习惯于把“参考量”的变换称为正向的，叫做协变张量，而“分量”的变换与参考相反，称为逆变张量。

同样的，我们可以找到一个一阶张量的例子：一个向量

。无论选用什么坐标系，它的几何性质永远不会变。我们设

是空间中的一些箭头，由简单的高中知识可以知道，当

互相不平行时，任意向量都可以表示成

，其中

就是

的分量。

选取不同的

，得到的

也不同，但是它们都可以用规律简易地算出，这也满足张量的定义。张量总不变，分量会改变。

第三个定义：一些通过张量积组合成的 对偶向量与向量

这个定义比较抽象，我们之后会细说。现在可以笼统地这样理解张量积：分别将有n个和m个下标的张量组成一个有n+m个下标的张量。

未完待续。