本文未完成，正在施工。预计九月前写完。

高中圆锥曲线的题目经过变形都一般能归化到这些子问题，这篇文章梳理这些子问题，给出典例（不会给具体解法），并给出对应的解法名称与链接。

如果你不知道对合或极点极线并不影响阅读本文，观察例子的普遍形式即可。

一、对合类

一般有三类问题。

1. 已知对合方程，求定点（对合中心）

概述 这类问题一般给出锥线 $\Gamma$ 上一个定点$A$与两个动点 $M,N$ ，令$k_{1}=k_{AM},k_{2}=k_{AN}$给出对合方程 $\alpha k_{1}k_{2}+\beta(k_{1}+k_{2})+\gamma=0$ 求 $MN$ 所过的定点。

大部分情况下为了简化运算题目都会给出仅和或积的关系（$\alpha=0$或$\beta=0$）

典例

$k_{1}k_{2}=-1$

$k_{1}+k_{2}=-1$

$k_{MB}k_{NB}=\text{定值}$

原因是根据第三定义 $k_{MA}k_{MB}=-\dfrac{b^2}{a^2}$ 而 $\dfrac{k_{MA}}{k_{NB}}=\text{定值}$

像这样问题有 $\color{yellow}{超级无敌狂拽杀马特多}$ 种做法，也可被归到极点极线类问题中。

$E:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1,T(1,1),过T的两条斜率和为1的直线分别交E于A,B和C,D，取AB,CD之中点M,N，求证：MN过定点$

待补解释

椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ 上一点 $A(1,\frac{3}{2})$ ，过 $A$ 作两条直线分别交椭圆于 $B,C$ ，如果 $k_{AB}\cdot k_{AC}=-\frac{9}{4}$ ，求证直线 $BC$ 过定点。

一目了然

方法

• 直接设线朴素韦达法
• 仅有和或积的关系时：齐次化联立法（可用换元代替平移）
• 双代法（斜率双用法）
• （非）轴点差（定点调整）法（合比）
• 斜率调整法（合比）
• 三角代换/参数方程表示法
• 对合性质法（高考不能用）
• 特殊值法（用来蒙答案）

齐次化联立很多时候计算量并不会比使用恰当变形和硬解公式的朴素韦达法计算量更小。

双代法在定点不在轴上的时候比较无脑。但是在轴上时计算量远大于轴点差法。

2. 已知对合轴/对合中心，求对合方程

概述 给出一过定点的直线，求其与锥线的两个交点与锥线上一点连线斜率的方程关系。

典例

椭圆 $\frac{x^2}{2}+y^2=1$ 上一点 $A(0,-1)$ ，过定点 $B(1,1)$ 作椭圆的割线，交点为 $C,D$ ，求证 $k_{AC}+k_{AD}$ 为定值。

2018全国I(理)

等价于证明$k_{1}+k_{2}=0$

一目了然

二、极点极线类

三、度量性质类

四、射影性质类

五、计算化简技巧类

点乘双根法