2.1 交比与一维射影变换

交比与一维射影变换

一维射影坐标

固定基向量 A,BA,B 后，点 PP 可表示为

P∼αA+βB.P\sim \alpha A+\beta B.

当 α≠0\alpha\ne 0 时，可归一化为

P∼A+λB,λ=βα.P\sim A+\lambda B,\qquad \lambda=\frac{\beta}{\alpha}.
  • A↔0A\leftrightarrow 0
  • B↔∞B\leftrightarrow \infty
  • 选定单位点 E∼A+BE\sim A+B 后，E↔1E\leftrightarrow 1

交比

书中的次序约定为

(P1P2,P3P4)=(λ1−λ3)(λ2−λ4)(λ2−λ3)(λ1−λ4).(P_1P_2,P_3P_4) = \frac{(\lambda_1-\lambda_3)(\lambda_2-\lambda_4)} {(\lambda_2-\lambda_3)(\lambda_1-\lambda_4)}.

若

P1∼A,P2∼B,P3∼A+λ1B,P4∼A+λ2B,P_1\sim A,\quad P_2\sim B,\quad P_3\sim A+\lambda_1B,\quad P_4\sim A+\lambda_2B,

则

(P1P2,P3P4)=λ1λ2.(P_1P_2,P_3P_4)=\frac{\lambda_1}{\lambda_2}.

单独的 λi\lambda_i 会随基向量的相对缩放而变化，但 λ1/λ2\lambda_1/\lambda_2 不变。交比也在中心射影下保持不变。

调和点组满足

(P1P2,P3P4)=−1.(P_1P_2,P_3P_4)=-1.

例 2.1 的缩放

q1=14p1+34p2⟹4q1=p1+3p2.q_1=\frac14p_1+\frac34p_2 \quad\Longrightarrow\quad 4q_1=p_1+3p_2.

这里缩放的是 q1q_1 的整个代表向量，系数比仍为 1:31:3。同理 q2∼p1−3p2q_2\sim p_1-3p_2，因此

(P1P2,Q1Q2)=3−3=−1.(P_1P_2,Q_1Q_2)=\frac{3}{-3}=-1.

一维射影对应

  • Poncelet 定义：有限次透视对应的复合。
  • Steiner 定义：保持交比的双射。
  • 定理 2.12：两个定义等价。
  • 三对相异对应元素唯一确定一个一维射影对应。

齐次坐标中的代数表示为

ρ(x1′x2′)=M(x1x2),det⁡M≠0.\rho \begin{pmatrix}x_1'\\x_2'\end{pmatrix} = M \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}, \qquad \det M\ne0.

定义 2.10 与定理 2.16

参数 λ,λ′\lambda,\lambda' 的非退化双线性方程为

aλλ′+bλ+cλ′+d=0,ad−bc≠0.a\lambda\lambda'+b\lambda+c\lambda'+d=0, \qquad ad-bc\ne0.

解出 λ′\lambda' 得

λ′=−bλ+daλ+c.\lambda'=-\frac{b\lambda+d}{a\lambda+c}.

它等价于齐次矩阵变换

(λ′1)∼(−b−dac)(λ1).\begin{pmatrix}\lambda'\\1\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}-b&-d\\a&c\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\lambda\\1\end{pmatrix}.

定理 2.16：

一维射影变换  ⟺  参数满足上述非退化双线性方程.\text{一维射影变换} \iff \text{参数满足上述非退化双线性方程}.

ad−bc≠0ad-bc\ne0 等价于变换矩阵可逆，保证该对应为双射。

已做例子

M=(−443−4)M= \begin{pmatrix}-4&4\\3&-4\end{pmatrix}

给出

λ′=−4λ+43λ−4,\lambda'=\frac{-4\lambda+4}{3\lambda-4},

等价的双线性方程是

3λλ′+4λ−4λ′−4=0.3\lambda\lambda'+4\lambda-4\lambda'-4=0.
  • 原直线的无穷远点像为 (−4:3)(-4:3)。
  • 像直线的无穷远点的原像为 (4:3)(4:3)。

不变点与分类

令 λ′=λ\lambda'=\lambda 即得不变点方程。对于双线性方程，它是

aλ2+(b+c)λ+d=0.a\lambda^2+(b+c)\lambda+d=0.
  • 两个不同实不变点：双曲型。
  • 一个二重实不变点：抛物型。
  • 一对共轭复不变点：椭圆型。

二刷待补

  • 用差分公式完整证明分式线性变换保持交比。
  • 补定理 2.12 中 Steiner 作图法的几何意义。
  • 补定理 2.16 两个方向的完整证明。
  • 补完全四点形、完全四线形与调和性。
  • 补一维射影变换三种类型的特征不变量。

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