Pascal 定理和 Brianchon 定理

Pascal 定理

设简单六边形

$$ABCDEF$$

内接于一条非退化二次曲线。六条边为

$$AB,\ BC,\ CD,\ DE,\ EF,\ FA.$$

三组对边是

$$AB\leftrightarrow DE, \qquad BC\leftrightarrow EF, \qquad CD\leftrightarrow FA.$$

令

$$X=AB\cap DE, \qquad Y=BC\cap EF, \qquad Z=CD\cap FA.$$

则

$$\boxed{X,Y,Z\text{ 三点共线}}.$$

直线 $XYZ$ 称为该六边形的 Pascal 线。

Brianchon 定理

若六边形 $ABCDEF$ 的六条边都与一条非退化二次曲线相切，则

$$\boxed{AD,BE,CF\text{ 三线共点}}.$$

Pascal 与 Brianchon 的对偶对应为：

Pascal	Brianchon
六个顶点在二次曲线上	六条边与二次曲线相切
三对对边分别相交	三对相对顶点分别连接
三个交点共线	三条连线共点

记忆：

• “内接”看顶点，用 Pascal；
• “外切”看边，用 Brianchon。

逆定理

在一般非退化位置下，Pascal 定理的逆定理为

$$AB\cap DE,\quad BC\cap EF,\quad CD\cap FA \text{ 三点共线}$$ $$\Longrightarrow$$ $$A,B,C,D,E,F \text{ 共一条非退化二次曲线}.$$

对偶地，Brianchon 的逆定理为：若 $AD,BE,CF$ 三线共点，则六边形的六条边共切于一条二次曲线。

Pascal 的五点极限形式

在内接六边形 $ABCDEF$ 中令 $F$ 沿曲线趋近 $A$，则弦 $FA$ 趋近 $A$ 点的切线 $t_A$。三个 Pascal 交点变为

$$X=AB\cap DE,$$ $$Y=BC\cap EA,$$ $$Z=CD\cap t_A,$$

且 $X,Y,Z$ 仍共线。

因此，已知二次曲线上五点 $A,B,C,D,E$ 时，可作

$$X=AB\cap DE, \qquad Y=BC\cap EA,$$

连接 $XY$，再令

$$Z=XY\cap CD.$$

则

$$\boxed{AZ\text{ 是二次曲线在 }A\text{ 处的切线}}.$$

与 Pappus 定理的关系

当非退化二次曲线退化成两条直线，六个顶点交错位于这两条直线上时，Pascal 定理退化为 Pappus 定理。

一刷取舍

• 必须会：Pascal 和 Brianchon 的图形、对偶关系与逆定理。
• 建议会：用 Pascal 的五点极限形式作切线。
• 可略：定理 4.7 的线束射影对应证明，四点形和三点形的全部极限情形，后续复杂作图例。

二刷待补

• 用二次曲线上点列之间的射影对应完整证明 Pascal 定理。
• 通过对偶原则逐句写出 Brianchon 定理的证明。
• 整理 Pascal 六边形不同顶点排列产生的不同 Pascal 线。

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