理解二次曲线上的对合的前置知识

费力看懂了 sumeragi693 的文章后，我觉得其中有一段知识跳跃得有点快。这篇文章就是给那些已经知道一点交比、极点极线和射影几何，但还没学过“一维基本形上的对合”的人补一下前置知识。文章里面可能有点

这里不会重新建立完整的射影几何体系，只走一条最短的路线：

$$\text{齐次坐标}\longrightarrow\text{透视与射影} \longrightarrow\text{分式线性变换} \longrightarrow\text{一维对合}\longrightarrow\text{二次曲线上的点列}.$$

走完以后，再看“二次曲线上的对合”，应该就不会有那么多凭空出现的定义了。

齐次坐标与一维基本形的坐标系

普通坐标有一个小麻烦：它装不下无穷远点。比如我们想用斜率表示过一点的所有直线，竖直线就总得被单独拿出来讨论。齐次坐标就是用来解决这个问题的。

射影直线上的一个点不用单个数表示，而用一对不同时为零的数

$$[u:v]$$

表示，并且约定

$$[u:v]=[ku:kv],\qquad k\ne0.$$

也就是说，齐次坐标只看比例。当 $v\ne0$ 时，可以把两项同时除以 $v$，得到

$$[u:v]=\left[\frac uv:1\right].$$

于是普通参数就是

$$t=\frac uv.$$

而当 $v=0$ 时，无论 $u$ 是多少，都有

$$[u:0]=[1:0].$$

这个唯一多出来的点就记作 $t=\infty$。因此射影直线可以粗略理解为普通直线补上一个无穷远点：

$$\mathbb P^1=\mathbb R\cup\{\infty\}.$$

射影平面也是一样，只不过改用三个数 $[x_1:x_2:x_3]$。当 $x_3\ne0$ 时，它对应普通平面中的点

$$\left(\frac{x_1}{x_3},\frac{x_2}{x_3}\right),$$

所以普通点 $(x,y)$ 可以写成 $[x:y:1]$。当 $x_3=0$ 时，得到的则是无穷远直线上的点。

直线上的全部点组成一个点列，过固定点的全部直线组成一个线束。它们都只需要一个参数就能描述，所以统称为一维基本形。

不过，写出 $[u:v]$ 还不等于坐标系已经建立好了。对于直线上的点列，需要先选三个不同的点

$$P_0,\qquad P_\infty,\qquad P_1,$$

分别规定它们的参数为 $0,\infty,1$。这三个点就是一维射影坐标系的基准。任意一点 $P$ 的参数可以用交比定义为

$$t=(P_\infty P_0,P_1P).$$

代入 $P=P_0,P_\infty,P_1$，确实会分别得到 $0,\infty,1$。得到 $t$ 以后，就把 $P$ 的齐次坐标写成

$$[t:1].$$

若 $P=P_\infty$，则写成 $[1:0]$。这就是非齐次参数 $t$ 的来历：齐次坐标是两个数的比例，而非齐次参数是分母不为零时把这个比例化成一个数。

线束也完全一样。在线束中选三条不同的直线 $l_0,l_\infty,l_1$，分别规定参数为 $0,\infty,1$，那么任意直线 $l$ 的参数就是

$$t=(l_\infty l_0,l_1l).$$

如果在解析几何中把水平线选作 $l_0$，竖直线选作 $l_\infty$，斜率为 $1$ 的直线选作 $l_1$，那么这个参数 $t$ 恰好就是平时使用的斜率 $k$。所以“用斜率表示一个线束”其实就是给线束选了一套非齐次坐标。

暂时记住这些就够了。齐次坐标负责把无穷远元素也装进来，非齐次参数则负责把一维基本形中的元素化成一个方便计算的数。后面出现的分式线性变换，就是一维射影对应在两套坐标中的表达式。

透视与射影

先想一条直线 $l$ 和直线外一点 $O$。对 $l$ 上的每一点 $P$，连接 $OP$，我们就把点列 $l$ 中的一个点对应到了线束 $O$ 中的一条直线：

$$P\in l\longleftrightarrow OP\ni O.$$

反过来，拿一条不过 $O$ 的直线去截这个线束，每条直线又会被截成一个点。像这种由“连接”或者“截取”得到的一一对应，就叫做透视对应。

所以透视并不是什么很神秘的变换，本质上就是从一个中心把东西投出去。两个点列之间可以透视，点列和线束之间也可以透视。连续做几次透视，得到的对应称为射影对应。

因此对我们来说，完全可以暂时把射影理解成“保持交比的一一对应”。

交比还会告诉我们一个后面反复使用的唯一性结论：

这和“一次函数由两个点确定”有点像，只不过射影变换比一次函数多一个自由度，所以要三组对应元素。

把射影写成分式线性变换

几何定义是有了，但做解析几何题总得把它写成能算的东西。

给两个一维基本形分别选取非齐次参数 $t,t'$，它们可以是直线点列上的坐标，也可以是线束中直线的斜率。

前一种写法叫做分式线性变换。条件 $ad-bc\ne0$ 是为了保证它可逆，否则分子分母可能成比例，所有 $t$ 都会被送到同一个值，这当然算不上一一对应。

分式线性变换最大的好处，是它把无穷远元素也自然地装了进来。当 $ct+d=0$ 时，$t'=\infty$；当 $c\ne0$ 时，令 $t=\infty$，便有 $t'=a/c$。所以在线束中用斜率作参数时，竖直线并不是需要单独排除的例外，它就是斜率为 $\infty$ 的那条直线。

双线性方程分别看成关于 $t$ 或 $t'$ 的方程时都是一次的。后面的对合方程就是从这里来的。

一维基本形上的对合

现在考虑一种很特殊的射影：它把 $P$ 变成 $P'$，再做一次又把 $P'$ 变回 $P$。写成函数就是

$$f^2=f\circ f=i.$$

这样的非恒等射影变换叫做对合。简单来说，对合就是“做两次回到原处”。其中有些元素可能对应自己，叫做不动元素；其余元素则两两配对：

$$P\leftrightarrow P'.$$

现在就能看出对合方程最明显的特点了：交换 $t,t'$ 后方程完全不变。这个对称性正好对应几何上的 $P\leftrightarrow P'$。反过来，一个非退化的双线性方程如果关于 $t,t'$ 对称，它表示的就是一个对合。

这正是 sumeragi 的文章中从“一组互逆对应点”直接得到对合的原因。

为什么能把这一套搬到二次曲线上

上面讲的对象一直是直线上的点列或者过一点的线束。接下来只差最后一步：说明一条非退化二次曲线本身也可以看成一个一维基本形。

所以“两个射影对应线束的对应直线交点”与我们熟悉的“二次方程的轨迹”其实是同一个东西的两种说法，这就是二次曲线的射影定义。

反过来看会更重要。

加上切线的约定以后，曲线上的所有点与线束中的所有直线便完整地一一对应。线束可以用一个射影参数表示，因此二次曲线上的点也可以用一个射影参数表示。换句话说：

一条非退化二次曲线，在射影意义下就是一条射影直线。

所以前面在线束上讲的射影、分式线性变换和对合，都可以原封不动地搬到二次曲线的点列上。先把曲线上的点投到一个线束中，在那里做射影或对合，再投回曲线即可。一个已经确定的曲线点列射影，也不会因为改用曲线上另一个点作辅助投影中心而改变。

讲到这里，阅读后文所缺的东西就基本补齐了。sumeragi 用

$$\Gamma(A,B,C,\cdots)$$

表示二次曲线上的点列，用 $O(A,B,C,\cdots)$ 表示把这些点连接到 $O$ 后得到的线束。所谓“二次曲线上的射影”，就是两个这样的曲线点列成射影对应；其中若出现一组互逆对应点，这个射影便成为对合。

至于射影轴怎样出现、为什么对应点处的切线交于对合轴、为什么所有对应点的连线又经过对合中心，这些正是后文要讲的内容，这里就不提前复述了。

定理的证明

正文的思路到这里已经结束了。下面只是把前面用到的结论集中证明一遍，不影响继续阅读 sumeragi 的文章。

定理一：射影与交比

设四条直线 $g_1,g_2,g_3,g_4$ 交于点 $O$，并分别交一条不过 $O$ 的直线于 $P_1,P_2,P_3,P_4$。由三角形面积公式，

$$\frac12 OP_i\cdot OP_j\sin\angle(g_i,g_j) =\frac12 h\cdot P_iP_j,$$

其中 $h$ 是点 $O$ 到截线的有向距离，以下线段和角的正弦也都取有向值。因此

$$P_iP_j =\frac{OP_i\cdot OP_j}{h}\sin\angle(g_i,g_j).$$

把这个式子代入四点交比

$$(P_1P_2,P_3P_4) = \frac{P_1P_3}{P_2P_3} \bigg/ \frac{P_1P_4}{P_2P_4},$$

所有 $OP_i$ 和 $h$ 都会消掉，最后只剩四条射线夹角的正弦之比。这个结果与截线选在哪里无关，所以同一个线束截在两条不同直线上，得到的两组点交比相同。也就是说，透视保持交比。有限次透视的复合当然也保持交比。

至于逆命题，设双射 $f$ 保持交比。取三个相异点 $P_1,P_2,P_3$，由定理二、三可以作出唯一的分式线性变换 $g$，使它在这三点上与 $f$ 相同。对任意点 $P$，

$$(P_1P_2,P_3P) =(f(P_1)f(P_2),f(P_3)f(P))$$

也等于把 $f$ 换成 $g$ 后的交比。固定前三点后，交比唯一确定第四点，因此 $f(P)=g(P)$。所以 $f=g$，它确实是射影。

定理二：三组对应元素确定射影

给源射影直线选取参数，使

$$P_1=\infty,\qquad P_2=0,\qquad P_3=1;$$

再给目标射影直线选取参数，使

$$P_1'=\infty,\qquad P_2'=0,\qquad P_3'=1.$$

按照相同参数相互对应，就得到一个满足三组条件的射影，因此射影存在。

若还有另一个射影满足同样的三组条件，那么对任意 $P$，它的像 $P'$ 都必须满足

$$(P_1P_2,P_3P)=(P_1'P_2',P_3'P').$$

固定前三点后，右边是 $P'$ 的一一函数，所以 $P'$ 只有一个。两个射影在每一点上的像都相同，只能是同一个射影。

定理三：一维射影的参数方程

在源基本形中选 $\infty,0,1$ 三个基准元素。设它们在目标基本形中的参数依次为 $\alpha,\beta,\gamma$。因为射影保持交比，任意一对对应参数 $t,t'$ 满足

$$t=(\infty,0;1,t) =(\alpha,\beta;\gamma,t').$$

这里左边第一项直接等于 $t$。把右边按交比公式展开：

$$t= \frac{(\alpha-\gamma)(\beta-t')} {(\beta-\gamma)(\alpha-t')}.$$

解这个关于 $t'$ 的一次方程，得到

$$t' = \frac{\beta(\alpha-\gamma)-\alpha(\beta-\gamma)t} {(\alpha-\gamma)-(\beta-\gamma)t}.$$

它正是

$$t'=\frac{at+b}{ct+d}$$

的形式。若 $\alpha,\beta,\gamma$ 中有无穷远参数，只需在交比中按极限理解，结论不变。

反过来，设

$$f(t)=\frac{at+b}{ct+d}.$$

直接作差可得

$$f(x)-f(y) =\frac{(ad-bc)(x-y)}{(cx+d)(cy+d)}.$$

把四个这样的差代入交比，所有分母与 $ad-bc$ 都会消掉，因此分式线性变换保持交比。当 $ad-bc\ne0$ 时，它还是一一对应，所以由定理一可知它确实表示射影。

最后把分母乘过去，得到

$$ctt'+dt'-at-b=0.$$

这就是等价的非退化双线性方程。

定理四：一维对合的等价判据

设

$$f(t)=\frac{at+b}{ct+d}.$$

把 $f(t)$ 再代回同一个式子：

$$f(f(t)) = \frac{(a^2+bc)t+b(a+d)} {c(a+d)t+bc+d^2}.$$

若它是对合，就要求这个式子对任意 $t$ 都等于 $t$。交叉相乘并整理：

$$(a+d)\bigl(ct^2+(d-a)t-b\bigr)=0.$$

它要对任意 $t$ 成立。如果第二个因式恒为零，就有 $b=c=0,d=a$，原变换其实是 $f(t)=t$，即恒等变换。既然对合按定义不是恒等变换，只能有

$$a+d=0.$$

反过来，把 $d=-a$ 代入 $f(f(t))$，可以立刻约去得到 $f(f(t))=t$，所以这个条件也充分。

此时分式线性变换变成

$$t'=\frac{at+b}{ct-a}.$$

去分母即得

$$ctt'-a(t+t')-b=0.$$

原来的一一对应条件 $ad-bc\ne0$ 变成 $a^2+bc\ne0$。令 $t'=t$，便得到不动元素方程

$$ct^2-2at-b=0.$$

它的判别式为 $4(a^2+bc)\ne0$，所以在实射影直线上要么有两个实不动元素，要么没有；在复数范围内则总有两个相异不动元素。

定理五：对合的确定

先证明一组互换元素足够。重新选取射影参数，使

$$P=0,\qquad P'=\infty.$$

设原射影为

$$f(t)=\frac{at+b}{ct+d}.$$

$f(0)=\infty$ 给出 $d=0$，$f(\infty)=0$ 给出 $a=0$，所以

$$f(t)=\frac{k}{t}$$

其中 $k\ne0$。于是

$$f(f(t))=\frac{k}{k/t}=t,$$

故它必为对合。

再证明两组对应元素对唯一确定对合。若其中一组的两个元素相异，就把这一组取作 $0,\infty$，那么对合只能写成 $f(t)=k/t$。设第二组为 $q,q'$，代入便得

$$k=qq'.$$

因此 $k$ 被唯一确定，对合也就被唯一确定。若给出的两组都是不动元素，则把它们取作 $0,\infty$。固定这两点的射影只能写成 $f(t)=kt$，由 $f^2=i$ 得 $k^2=1$；排除 $k=1$ 的恒等变换，只剩 $k=-1$。所以这种情形下对合也唯一。

定理六：二次曲线的射影生成

取射影坐标，使两个线束中心分别为

$$O=[0:1:0],\qquad O'=[1:0:0].$$

两个线束可以写成

$$p_\lambda:x_1-\lambda x_3=0, \qquad p_{\lambda'}':x_2-\lambda'x_3=0.$$

对应直线的交点为

$$P=[\lambda:\lambda':1].$$

两个线束成射影对应，所以由定理三，其参数满足

$$A\lambda\lambda'+B\lambda+C\lambda'+D=0, \qquad AD-BC\ne0.$$

代入 $\lambda=x_1/x_3,\lambda'=x_2/x_3$，再乘 $x_3^2$，得到交点轨迹

$$Ax_1x_2+Bx_1x_3+Cx_2x_3+Dx_3^2=0.$$

这是一条经过 $O,O'$ 的二次曲线。两个线束中共有直线 $OO'$，它对应参数 $\lambda=\lambda'=\infty$。若这条直线自对应，则 $A=0$，方程直接分解为

$$x_3(Bx_1+Cx_2+Dx_3)=0,$$

所以轨迹退化成两条直线；这正是两个线束成透视的情形。

若两个线束不成透视，则 $A\ne0$。假设上面的二次方程仍能分解，因为其中没有 $x_1^2,x_2^2$ 项，它只能写成

$$(rx_1+sx_3)(ux_2+vx_3)=0.$$

比较系数有

$$A=ru,\qquad B=rv,\qquad C=su,\qquad D=sv,$$

从而 $AD=BC$，这与射影对应的非退化条件 $AD-BC\ne0$ 矛盾。因此轨迹不可能分解，确实是一条非退化二次曲线。

定理七：二次曲线是一条射影直线

对非退化二次曲线作适当的射影坐标变换，可以把它写成

$$x_1x_3-x_2^2=0.$$

曲线上的点可以参数化为

$$P(t)=[t^2:t:1].$$

固定曲线上一点 $O=P(o)$。容易验证，连接 $O$ 与 $P(t)$ 的直线方程为

$$x_1-(t+o)x_2+otx_3=0.$$

因此这条直线的系数可以记为

$$[1:-(t+o):ot].$$

它的三个系数关于 $t$ 都是一次的，所以 $t$ 同时也是线束 $O$ 的射影参数。把交点重数算进去，每条过 $O$ 的直线都唯一确定曲线上的另一个交点；切线对应的两个交点重合。因此 $P(t)\leftrightarrow OP(t)$ 是一一对应。

当 $t=o$ 时，上式变成

$$[1:-2o:o^2],$$

恰好是曲线在 $O$ 处的切线，所以把 $OO$ 解释为切线后，对应没有缺口。若换另一个曲线点 $O'=P(o')$ 作中心，同一个曲线点 $P(t)$ 在两个线束中仍使用同一个参数 $t$，所以两个线束之间的对应是射影的，一个已经确定的曲线点列射影也不依赖辅助中心的选择。

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